Régime Transitoire 2 Degrés de Liberté.

TEST n°2.

ccc

Le circuit électrique oscillant faiblement amorti est alimenté par un générateur de tension e(t).

1- On désire observer les modes propres de ce circuit électrique sur un écran d'oscilloscope
- Donner les caractéristiques de l'oscilloscope.
- Préciser la forme et la valeur de la fréquence de la tension e(t) que l'on doit choisir ?
- Quels sont alors les branchements nécessaires à réaliser ?

Réponse
  • Caractéristiques de l'oscilloscope :
    Osilloscope à double entrées (ou voies) `CH1` et `CH2` à masse commune et doté du mode `INVERT`. Cet oscilloscope doit être aussi doté du mode `ADD` permettant d'additionner les deux signaux présents aux deux entrées `CH1 + CH2` ou `CH1-CH2` si le mode `INVERT` est activé.

  • Forme et la valeur de la fréquence de la tension `e(t)` :
    La tension `e(t)` est de forme carrée `e(t)=±e_0` et de fréquence `f` assez inférieure à la plus petite fréquence propre du circuit oscillant. Cette dernière condition permet de mesurer les valeurs moyennes des tensions observées sur l'écran de l'oscilloscope.

  • Branchements nécessaires à réaliser :
    Pour observer le mode 1 `(v_{C1}+v_{C2})` on doit relier le point `M` à la masse de l'oscilloscope (GND) et le point `B` à l'une des entrées par exemple `CH1` : ##v_B (t)-v_M (t)=v_B (t)-v_A (t)+v_A (t)-v_M (t)=v_{C2} (t)+v_{C1} (t)##

    Pour observer le mode 2 `(v_{C1}-v_{C2})` on doit relier le point `M` à la masse de l'oscilloscope (GND), le point `A` à l'entrée `CH2` en mode INVERT et le point `D` à l'entrée `CH1.` Le mode `ADD` est activé : ##v_D (t)-v_M (t)-(v_A (t)-v_M (t))=v_D (t)-v_A (t)=\dfrac{C}{C}_0 (v_{C1}-v_{C2}).##

2- Les courbes (a) et (b) observées sont représentées ci-dessous :


ccc      ccc


Téégharger la courbe (a)                      Téégharger la courbe (b)

- Identifier les courbes en justifiant votre réponse.
- Sachant que la valeur de la capacité du condensateur de couplage `C_0=2,35 μF,` calculer les valeurs des inductances `L` des bobines et des capacités `C` des condensateurs.

Réponse

ccc      ccc

  • Identification des courbes :

    Courbe (a) : ##T_{a(a)}=\dfrac{6,45\times0,2}{3}\implies## ##T_{a(a)}=0,430  ms.##
    Courbe (b) : ##T_{a(b)}=\dfrac{7,30\times0,2}{4}\implies## ##T_{a(b)}=0,365  ms.##

    Comme le circuit est faiblement amorti, les pseudopériodes sont pratiquement égales aux périodes propres du circuit. La période propre `T_1` du mode 1 `(v_{C1}+v_{C2})` est supérieure à `T_2` celle du mode 2 `(v_{C1}-v_{C2} ).` Par conséquent :

    ##T_1=0,430  ms     et     T_2=0,365   ms ##

    La courbe (a) correspond au mode 1 et la courbe (b) au mode 2.

  • Calculs des valeurs de `C` et `L` :
    ##K=\dfrac{T_1^2-T_2^2}{T_1^2+T_2^2}\implies## ##K=\dfrac{0,430^2-0,365^2}{0,430^2+0,365^2}\implies## ##K=0,162##


    ##K=\dfrac{C}{C+C_0 }\implies## ##K(C+C_0 )=C\implies## ## KC_0=(1-K)C\implies## ##C=\dfrac{K}{1-K} C_0\implies## ## C=\dfrac{0,162}{1-0,162}\times 2,35\implies##
    ##C=454  nF##


    ##T_1=2π\sqrt{LC}\implies## ##L=\dfrac{T_1^2}{4π^2 C}\implies## ##L=\dfrac{0,430^2\times10^{-6}}{4\timesπ^2\times454\times10^{-9} }\implies##
    ##L=10,3  mH##